Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình :

a) 5

*
 + 2x – 4 = 0 ;


b) 4

*
 – 6
*
x + 4 = 0 ;

Giải:

a) Phương trình có ac

 

*

Phương trình có ∆’ = 27 – 16 > 0 nên có hai nghiệm. Theo hệ thức Vi-ét: 

*

Ví dụ 2.

Bạn đang xem: Bài tập nâng cao về hệ thức vi-ét

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình :

a) 7

*
 + 3x – 4 = 0 ;

b) 4

*
 – (5 +
*
) x + 1 +
*
= 0.

Giải:

a) Phương trình có a – b + c = 0 nên có hai nghiệm :

*
= -1;
*
*
.

b) Phương trình có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm :

*

Ví dụ 3. Cho phương trình

*
– x – 3 = 0 (1). Không giải phương trình (1), hãy :

*

trong đó

*
*
là nghiệm của phương trình (1).

b) Lập phương trình ẩn y có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình (1).

Giải:

a) Phương trình (1) có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm.

 Theo hệ thức Vi – ét:

 

*

Do đó :

 

*

*

Ví dụ 4. Cho phương trình

*
 + 2(m + 1)x + 2m – 1 =0(1),trong đó m là tham số.

a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

Giải : 

a) Vì ∆’ =

*
 + 2 ≥ 2 với mọi m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu là :

*

Ví dụ 5. 

Cho hàm số y = 2

*
.

a) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số trên với đổ-thị hàm số y = 3x – 1.

b) Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2

*
 cất đồ thị hàm số y = 5x + 9 tại hai điểm nằm về hai phía đối với trục Oy.

Giải :

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2

*
 và y = 3x – 1 là nghiệm của phương trình : 2
*
 = 3x – 1 2
*
 – 3x + 1 = 0.

Phương trình có a + b + c = 0, do đó có hai nghiệm

*
= 1;
*
=
*
.

Với

*
= 1 thì
*
= 2. Với
*
 =
*
thì
*
 =
*
.

Xem thêm: Những Từ Tiếng Anh Bắt Đầu Bằng Chữ Y, Học Ngay 99 Hay Gặp Nhất

Vậy hai giao điếm là M(1 ; 2) và N(

*
;
*
).

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2

*
 và y = 5x + 9 là nghiệm của phương trình 2
*
 = 5x + 9 2
*
 – 5x – 9= 0.(*)

Phương trình (*) có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó âm nên luôn có hai nghiệm trái dấu.

Vậy hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm nằm về hai phía đối với trục Oy.

B. Bài tập cơ bản

Bài 6.1.

Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình :

a) 3

*
 + 5x – 12 = 0;

b) 3

*
 – 60x + 41 = 0 ;

c) 13

*
 + 7x + 4 = 0 ;

d) -6

*
 – 15x + 31 = 0 .

Bài 6.2.

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình :

a) 2

*
 + 9x-11 =0;

b)

*
 – (
*
+
*
)x +
*
= 0 ;

c)

*
 – 2x – 15 = 0 ;

d)

*
 – 10x + 24 = 0.

Bài 6.3.

Cho phương trình : 2

*
 – 4x – 7 = 0 (1). Không giải phương trình, hãy :

*

 trong đó

*
,
*
là tham số.

b) Lập phương trình ẩn t có nghiệm là số đối các nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 6.4.

Cho parabol (P) : y =

*
 và đường thẳng (d) : y = 4mx – 4
*
 + 1.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Gọi

*
,
*
 là hoành độ của A, B. Tính
*

c) Tính toạ độ trung điểm I của AB theo m.

C. Bài tập nâng cao

Bài 6.5.

Cho phương trình

*
 – (2m – 1)x –
*
 + m – 1 =0, trong đó m là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.

b) Gọi

*
,
*
 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị của m sao cho
*
đạt giá trị nhỏ nhất.