Giải bài tập trang 9 bài 1 mở đầu về phép biến hình SGK Hình học 11 Nâng cao. Câu 1: Qua phép tịnh tiến T theo vecto đường thẳng d biến thành đường thẳng d’...

Bạn đang xem: Giải bài tập toán hình lớp 11 nâng cao


Câu 1 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Qua phép tịnh tiến T theo vecto đường thẳng d biến thành đường thẳng d’. Trong trường hợp nào thì : d trùng d’ ? d song song với d’ ? d cắt d’ ?

Giải 

Nếu (overrightarrow u ) là vecto chỉ phương của d thì d trùng với d’

Nếu (overrightarrow u ) không là vecto chỉ phương của d thì d // d’

d không bao giờ cắt d’

 

Câu 2 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hai đường thẳng song song a và a’. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a’.

Giải 

*

Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a’, phép tịnh tiến theo vecto (overrightarrow AA" ) biến a thành a’. Đó là tất cả những phép tịnh tiến cần tìm

 

Câu 3 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hai phép tịnh tiến (T_overrightarrow u , ext và ,T_overrightarrow v ).Với điểm M bất kì, (T_overrightarrow u ) biến M thành điểm M’,(T_overrightarrow v ) biến M’ thành điểm M”. Chứng tỏ rằng phép tịnh tiến biến M thành M” là một phép tịnh tiến.

Xem thêm: 30 Ảnh Chế Hài Vô Đối, Hình Ảnh Hài Hước Về Tình Yêu, Bạn Có Đỡ Nỗi Những Ảnh Chế Tình Yêu Hài Hước Này

Giải 

Ta có :

(eqalign & T_overrightarrow u :M o M" cr & T_overrightarrow v :M" o M cr )

Suy ra :(overrightarrow MM" = u,overrightarrow M"M = overrightarrow v )

Do đó : (overrightarrow MM = overrightarrow MM" + overrightarrow M"M = overrightarrow u + overrightarrow v )

 

Câu 4 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho (overrightarrow MM" + overrightarrow MA = overrightarrow MB .)

Giải 

*

Ta có (overrightarrow MM" = overrightarrow MB - overrightarrow MA = overrightarrow AB ) nên phép tịnh tiến T theo vecto (overrightarrow AB ) biến M thành M’. Nếu gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức (overrightarrow OO" = overrightarrow AB ) thì quỹ tích M’ là đường tròn tâm O’ có bán kính bằng bán kính đường tròn (O).

 

Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với (alpha ,a,b)là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm (Mleft( x;y ight)) thành điểm (M"left( x";y" ight)), trong đó

(left{ matrixx" = xcos alpha - ysin alpha + a cr y" = xsin alpha + ycos alpha + b cr ight.)

a. Cho hai điểm (Mleft( x_1;y_1 ight),,Nleft( x_2;y_2 ight)) và gọi M", N" lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M" và N"

b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d" giữa M" và N"

c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?

d. Khi (alpha = 0), chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến

Giải 

a) M’ có tọa độ ((x_1, m y_1)) với (left{ matrixx"_1 = x_1cos alpha - y_1sin alpha + a cr y"_1 = x_1sin alpha + y_1cos alpha + b cr ight.)

N’ có tọa độ ((x_2, m y_2)) với (left{ matrixx"_2 = x_2cos alpha - y_2sin alpha + a cr y"_2 = x_2sin alpha + y_2cos alpha + b cr ight.)

b) Ta có (d=MN=sqrt left( x_1 - x_2 ight)^2 + left( y_1 - y_2 ight)^2 )

(eqalign & d" = M"N" = sqrt left( x"_1 - x"_2 ight)^2 + left( y"_1 - y"_2 ight)^2 cr & = sqrt left< left( x_1 - x_2 ight)cos alpha - left( y_1 - y_2 ight)sin alpha ight>^2 + left< left( x_1 - x_2 ight)sin alpha + left( y_1 - y_2 ight)cos alpha ight>^2 cr & = sqrt left( x_1 - x_2 ight)^2cos ^2alpha + left( y_1 - y_2 ight)^2sin ^2alpha + left( x_1 - x_2 ight)^2sin ^2alpha + left( y_1 - y_2 ight)^2cos ^2alpha cr & = sqrt left( x_1 - x_2 ight)^2 + left( y_1 - y_2 ight)^2 cr )

c) Từ câu b suy ra (MN=M"N") do đó (F) là phép dời hình.

d) 

(Khi,,alpha = 0,,, ext ta có ,,left{ matrix x" = x + a hfill cr y" = y + b hfill cr ight.)

Vậy (F) là phép tịnh tiến vectơ (overrightarrow u left( a;b ight).)

 

Câu 6 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các phép biến hình sau đây:

- Phép biến hình (F_1) biến mỗi điểm (Mleft( x;y ight)) thành điểm (M"left( y; - x ight))

- Phép biến hình (F_2) biến mỗi điểm (Mleft( x;y ight)) thành điểm (M"left( 2x;y ight))

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?

Giải 

Lấy hai điểm bất kì (M = (x_1; m y_1)) và (N(x_2;y_2)) khi đó

(MN = sqrt left( x_1 - x_2 ight)^2 + left( y_1 - y_2 ight)^2 )

Ảnh của M, N qua F1 lần lượt là (M" = (y_1; - x_1)) và (N" = (y_2; - x_2))

Như vậy ta có: (M"N" = sqrt left( y_1 - y_2 ight)^2 + left( - x_1 + x_2 ight)^2 )

Suy ra (M’N’ = MN), vậy F1 là phép dời hình

Ảnh của M, N qua F2 lần lượt là (M" = (2x_1; m y_1)) và (N" = (2x_2;y_2))

Như vậy ta có: (M"N" = sqrt 4left( x_1 - x_2 ight)^2 + left( y_1 - y_2 ight)^2 )

Từ đó suy ra : nếu (x_1 e x_2) thì (M’N’≠ MN), vậy F2 không phải là phép dời hình